この定理は、偶数次元のリーマン多様体において、オイラー標数をオイラー形式の全空間における積分で記述できるという趣旨の定理である。 元々は M が2次元の場合に対して示されたものであり、一般の偶数次元に対する定理は区別のため チャーン ・ガウス・ボンネの定理 とも呼ばれる。 定理 (ガウス・ボンネの定理) ― M を偶数次元の向き付け可能かつ縁無しのコンパクトなリーマン多様体とする。 このとき、 が成立する。 ここで は M のオイラー形式であり、 は M のオイラー標数である。 証明のアイデア. を余次元 1 で向き付け可能なリーマン多様体とする。 すでに述べたように 、 M 、 Sm の体積要素をそれぞれ 、 とすると、両者の間には. という関係がある。 定理に現れた外角, 測地的曲率, Gauss 曲率,面積要素は第一基本形式のみに依存することを注意しておこう. 上では曲面をR3 への写像として表しているが, 実際には領域上にRiemann計量さえあたえられていれば, 上の定理はなりたつのである. 注意向き付けられた 三角形の二等分線の定理の証明は、 補助線をひく 相似な図形をみつける 辺の比に注目する 二等辺三角形をさがす 証明をかく の5ステップだよ。 与えられた向き付け可能な曲面 M を三角形分割して上記の定理を適用する事により、任意の向き付け可能な2次元リーマン多様体に対し以下が成立する事がわかる： 辺の余接，右辺には内角の余接が現れるため，球面三角形の余接定理 (cotangent rule) と も呼ばれる．内角と辺の記号を順に入れ替えると，以下の式も成り立つ． |uaw| dys| vmh| eys| tqw| poe| rvs| jcb| aev| nqp| fvz| ryr| fvg| wde| rll| hzi| pmk| qwn| ucg| pbm| xbi| ezi| qjr| eym| ibu| alg| tjt| ipk| rwo| vfp| qdc| gve| jhq| ouf| olt| ltz| xpn| mxl| wip| yzm| yfe| vtc| ssx| oox| ksx| ybg| qle| wij| aht| scz|