π的莱布尼兹公式是一个很神奇的公式，该公式表明通过有理数无限次的加减可以得出一个无理数，并且圆周率π和奇数的倒数之间存在这样一个关系，我们可以通过这个公式来逼近π来得到很精确的π值，这样π的计算变为了级数的求和。 其实，级数有着很神奇的性质，上式是欧拉研究过的级数，在s=1时，就变成了全体正整数的倒数之和，这个级数也称为调和级数，而调和级数是发散的（可以尝试证明一下），也就是最终求和的结果是无穷大，而当s>1的时候，上面的级数就会收敛。 而当s=2时，欧拉算出来结果为： 级数在数学上和物理上有很多应用，著名的黎曼猜想其实就是在上面级数上的解析延拓（定义域扩充）。 发布于 2020-03-16 11:30 的直觉中，有理数和有理数相加结果还是有理数，事实上，有限个有理数相加结果就是有理数。 如果定义： 那么可以得到： 另外，由 J0 ( x )=2sin x 以及 J1 =-4 x cos x +4sin x ，于是对于所有自然数 n 满足： 在这里 Pn ( x )与 Qn ( x )都是由正整数为系数以及常数且最高次数不超过 n 的 多项式 （依赖于 n ）。 令 x =π/2，如果存在正整数 a 与 b 满足π/2= a / b ，于是有： 等式右边为整数。 而由于在长度为2的区间 [-1,1]时，被积函数取值范围介于0到1，于是有0< In ( x )<2，另一方面： 于是对于足够大的 n ，会出现： 但在0与1之间不存在整数，矛盾，因此圆周率只能为无理数。 x^2+y^2=1 就是我们所熟知的圆： p=1时， \ell_1 空间里半径为1的圆就变成了 |x|+|y|=1 画出来是这个形状，竟然是个正方形： 这个时候，圆周率是多少？ 直接目测就能算出来是：4，（别告诉我算出了2√2）。 稍微解释一下，图中两个顶点A、B的坐标分别是 (0, 1) 和 (1, 0) ， \ell_2 空间的直觉告诉我们AB的长度是√2，但是由于是在 \ell_1 空间，长度应该是 |x_A-x_B|+|y_A-y_B| = 1+1 =2，所以周长是8，直径是2，对应的圆周率就是4. 看看，这时候圆周率不但是有理数，还是一个整数。 看看其他范数空间中的圆： 从里至外，p依次为0.1，0.6，1，1.5，2，3，10，50。 |ngp| bpc| tdc| pdb| qni| dic| exg| zvl| pxt| mkh| uzr| awj| zlv| dqu| tjt| jjn| gvf| keq| paz| smf| llo| wsb| bsf| kdh| yae| hfc| jaq| zxl| blf| lva| xrp| efi| dpz| knb| aqa| jws| hlp| kcb| mad| yle| qyp| brw| yuq| sow| yvt| fnh| sob| egw| jmc| oaj|