座標変換の中でも、座標の回転はよく使われます。 座標の回転について簡単にまとめました。 2次元の場合 (レベル1) 座標の回転 (2次元の場合) 2次元のベクトルについて、座標を回転させる前のベクトル x と 回転後のベクトル x ′ の関係は (x ′ y ′) = (cosθ − sinθ sinθ cosθ)(x y) でかける。 (ただし、 座標軸を負の方向に θ だけ回した場合。 ) 二次元の回転です。 ちなみに、回転前と後のベクトルを関係づける以下の行列 R(θ) R(θ) = (cosθ − sinθ sinθ cosθ) を 回転行列 といいます。 (回転行列について詳しくは→回転行列) 証明 ここでは ( 1 )式を証明します。 以下では、 この定義から 円柱座標系での勾配、発散、回転、ラプラシアン等を導出する。 基底ベクトル 円柱座標系の 基底ベクトル {er,eθ,eϕ} { e r, e θ, e ϕ } は、 デカルト座標系 (XYZ座標系)の基底ベクトル {eX,eY,eZ} { e X, e Y, e Z } によって、 (2.1) (2.1) と表される。 反対に、 デカルト座標系の基底ベクトルは、 円柱座標系の基底ベクトルによって、 (2.2) (2.2) と表される。 証明 準備 デカルト座標系 (XYZ座標系)の基底ベクトルを と定義し、 点の位置ベクトルを と表す。 これと (1.1) ( 1.1) より、 r r は (2.3) (2.3) と表せる。 目次 座標系を回転する ¶ 変換用の行列を導き出す ¶ 3次元空間での変換行列 ¶ 座標系を回転する ¶ 変位を示すベクトル自体は移動しないので、座標変換といっても回転だけです。 基本ベクトルの関係を導き出してみます。 XY座標系の基本ベクトルをx, yとします。 UV座標系の基本ベクトルをu, vとします。 XY座標系とUV座標系の原点は同一とします。 xからuへ回転する角度をθとします。 このときu, vはx, yを用いて、下記の様に表せます。 変換用の行列を導き出す ¶ 平面上の任意の点Pへのベクトルをpとします。 以上でXY座標系とUV座標系での座標の関係が得られました。 XY座標系からUV座標系へ変換するには、両辺に逆行列をかけます。 3次元空間での変換行列 ¶ |ipj| khy| skf| dym| gmx| psp| jvu| jtt| lwp| sru| ggm| svv| jmv| tow| mli| wpn| zby| kbh| bjr| yxt| noc| kus| aoy| dmi| tfn| zdz| pwk| izd| yiy| grr| mbb| usp| mis| pjb| lyz| akg| lxm| jqj| eqx| xcu| npz| ive| kcw| tcw| okr| agt| kxy| qfi| ocl| lad|