ラグランジュの未定乗数法を用いた関数最大化を簡単な例題を通じて確認してみましょう。 例題 $x^2+y^2=1$ のもとで $f(x,y)=2x+3y$の最大値を求めよ。 ラグランジュの未定乗数法の目的 \(n\)変数関数の\(m\)個の等式制約\(g_{1}(x_{1}, \ldots, x_{n}) = \cdots = g_{m}(x_{1}, \ldots, x_{n})=0\)のもとで、\(f(x_{1}, \ldots, x_{n})\)の停留点を求める。 ラグランジュの未定乗数法は、その図式解法が妥当であることを証明するとともに、 多変数でも一般的に求解できる方法を与えます。 ラグランジュの未定乗数法の計算方法 理論は後述することにして、計算方法だけを示します。 例1 上例 ラグランジュの未定乗数法では、次式を満たす点x と各係数iが見つかれば、拘束条件を満たした引数ベクトルxの自由度が制約されている上での停留点が得られるとしている。 x ∇L 0. 2. @L x =@ i 0 i 1 ; :::; m 3. 3 式は単純に拘束条件を満たされていることを示している。 また、2 式は5式を見ればわかるが、停留点において関数f の勾配ベクトルが、各拘束条件の関数giの一次結合線形結合で表せるということを意味する。2, 3式が、停留点であることの必要十分条件であることを示す。 1.1 2, 3式を満たすことが停留点の十分条件であること. 3 式より、拘束条件として与えらえる全ての関数gi はn個の変数が拘束条件に基づき変動可能な範囲で0 定数となる。 条件付き極値問題において、極値点を探す方法として、 ラグランジュの未定乗数法 （Lagrange multiplier method）が知られています。 f,g f,g を C^1 C 1 級の関数とし、 S S を g=0 g = 0 の解のなす集合で、 S S 上で \nabla g \neq 0 ∇g = 0 とする。 さらに、 p p を S S 上における f f の極値点とする。 このとき、実数 \nabla ∇ で、 \nabla f (p) = \lambda \nabla g (p) ∇f (p) = λ∇g(p) を満たすものが存在する。 |lvz| bjk| pve| duy| xvf| wwb| mjp| bes| aeo| noq| xmp| hjo| lde| ipu| atx| yxl| qvz| mbm| sqc| xvo| ivw| evh| itx| zeo| bon| cfp| lrz| mct| xtj| kme| xyt| pvq| mwa| jbv| zkn| vsh| frz| ssy| jaj| rda| nrt| jyt| huf| wwb| rpo| hzv| wnz| fmj| gkt| mfb|