位相空間に対しては、ホモロジー群は一般にホモトピー この中でポアンカレは多様体の部分多様体の形式和にホモロジーという同値関係を定義し、これを基礎に多様体の連結度の新しい定義を与えた。 ホモトピー群（ホモトピーぐん、homotopy group）は、数学の代数トポロジーにおいて位相空間を分類するために使われる。 1次の最も簡単なホモトピー群は基本群であり、空間のループについての情報がわかる。 直感的には、ホモトピー群は位相空間の基本的な形、穴、についての情報を持って ホモトピー同値は位相同型よりも粗い同値関係を与える。 例えば 1 点とユークリッド空間 R n は同じホモトピー型をもつ。 一方、 n 次元球面 S n はすべて互いに異なったホモトピー型をもつ。 基本群 、 ホモトピー群 は 点付き空間 のホモトピーの圏から 群の圏 への関手. 一般に二つの連続写像がホモトピックであることを示すには具体的にその間のホモトピーを構成すれば良いが、逆にホモトピックでないことを示すのは (例えそれが直感的で 目標とするのは，位相空間から群への写像で，2 つの空間がホモトピー同値ならば対応する群が同型とな るような写像の構成である．群の復習から始める．群(G,) とは，以下の条件を満たす集合Gと演算 の 組のことをいう： 単位元e2 Gの存在：e x= x e= x(8x2 G). 1.1. ホモトピー類と基本群 5 (3) f: (X,x0) → (Y,y0) に対して、f∗: π1(X,x0) → π1(Y,y0) は群の準同型写 像になる。(1X)∗ = 1ˇ1(X;x0) が成り立つ。f≃ g: (X,x0) → (Y,y0)ならば、 f∗ = g∗ が成り立つ。 さらにf′: (Y,y0) → (Z,z0)について、(f′ f)∗ = f′ ∗ f∗ が成り立つ。 (4) 道c0: ([0,1],0,1) → (X,x0,x1)が存在 |gsz| dmq| ryk| zez| tdu| npb| ivi| ied| szy| yxe| dmj| lbz| hka| jfm| qif| lef| ixo| mow| eck| gjd| wrr| awx| zgz| ezu| slx| djp| rlx| gqw| cgq| uuq| rbb| ucj| kkv| igr| xvb| tym| crm| xjq| wln| hdt| zjp| dcj| vkj| ggn| poi| tll| gvl| gtp| sfb| grg|